Мере углова

Мера угла је величина размака (отклона) између кракова угла. Најчешће коришћене мере су степен и радијан.

Мера од једног степена је величина централног угла која одговара 360-том делу круга.

Мера угла у радијанима представља однос одговарајућег кружног лука и полупречника централног угла.



Однос кружног лука и полупречника не зависи од дужине полупречника.



Мера од једног радијана је угао чији је кружни лук једнак полупречнику. Мера у радијанима представља однос дужина па је неименована јединица. Ако је потребно нагласити да су у питању радијани онда се пише rad.

       

За претварање радијана у степене и обрнуто користи се пропорција  . Превођење степена у радијане се реализује формулом  , а превођење радијанa у степене формулом  .



Пример 1.

Изразити у радијанима следеће углове



Решење
     

■


Пример 2.

Изразити у степенима углове дате у радијанима



Решење
     

     

■


Tригонометријске функције оштрог угла правоуглог троугла



Нека су дати троуглови AB1C1 и AB2C2 као на слици.



Ова два троугла су слича па важи

     

Односи страница ових троуглова не зависе од дужина њихових страница. Тај однос зависи од унутрашњих углова троуглова, а то значи да се односи страница могу изразити помоћу одговарајућих функција унутрашњих углова. Те функције се зову тригонометријске (lat. trigonon - trougao, metron - mera).

Основне тригонометријске функције су: sina, cosa, tga  и ctga.

1o  sina  (чита се синус алфа, или синус од алфа)

Синус оштрог угла у правоуглом троуглу је однос дужина наспрамне катете и хипотенузе



2o  cosa   (чита се косинус алфа)

Косинус оштрог угла у правоуглом троуглу је однос дужина налегле катете и хипотенузе



3o  tga   (чита се тангенс алфа)

Тангенс оштрог угла у правоуглом троуглу је однос дужина наспрамне и налегле катете



4o  ctga   (чита се котангенс алфа)

Котангенс оштрог угла у правоуглом троуглу је однос дужина налегле катете и наспрамне катете





Вредности функција у троуглу са слике су:







Пример 1.

Одредити вредности тригонометријских функција за углове



■


Основне релације између тригонометријских функција



Нека је дат правоугли троугао ABC.



Вредности тригонометријских функција за дати троугао су

     

За дати троугао важи Питагорина теорема



Теорема може да се трансформише применом тригонометријских функција у облик









Добијена једнакост је тригонометријски облик Питагорине теореме. Формула је основни тригонометријски идентитет и важи за сваки угао.



Важе и следеће везе измећу функција











Пример 2.

Одредити вредности тригонометријских функција ako je



Решење











■


Оријентисан угао, тригонометријски круг и тригонометријске функције произвољног угла



До сада код угла није помињан редослед кракова. Радило се са неоријентисаним угловима.

Оријентисан угао је угао код кога знамо који је први и који је други крак. Могу се добити два усмерења





Позитиван математички смер је супротан кретању казаљке часовника, а негативан је у смеру кретања казаљке часовника.

У тригонометрији је најбоље теме угла поставити у координатни почетак. Први крак се поклопи са позитивним делом x осе, а други крак ротира у једном или другом смеру.



или



Вредности углова у степенима на координатним осама за позитиван смер



или у радијанима



Вредности углова на координатним осама за негативан смер

     



Тригонометријски круг



Вредности углова дате односом кружног лука и полупречника не зависе од диманзија полупречника. То значи да се увек може одабрати произвољан полупречник. Најбоље је одабрати полупречник дужине 1.

Круг полупречника 1 и са центром у координатном почетку се зова тригонометријски круг.





Дефиниција тригонометријских функција произвољног угла



Нека је тачка М у пресеку крака угла алфа са тригонометријским кругом.



Вредности функција угла алфа у троуглу су





Вредности функција се поклапају са координатама тачке М на тригонометријском кругу.

Синус угла алфа је једнак ординати yo тачке М.

Косинус угла алфа једнак је апсциси xo тачке М.



Обе функције су позитивне у првом квадранту





Ова дефиниција тригонометријских функција може да се прошири и на произвољне углове.




Знак функција у другом квадранту





Знак функција у трећем квадранту





Знак функција у четвртом квадранту



Осе су границе квадраната и не припадају квадрантима. Вредности функција sinα и cosα за углове код којих је други крак на једној од оса су













Пример 3.

Одредити вредности тригонометријских функција ako je



Решење













■


Геометријска интерпретација тангенса и котангенса угла



На позицији праве x=1 може да се дода такозвана тангенсна оса.

Крак угла алфа може да се продужи до пресека са осом t.

Троугао OMM1 је сличан са троуглом OAB.









Вредност тангенса угла може да се одређује на тангенсној оси.

















За котангенс угла се додаје котангенсна оса t (поклапа се са правом y=1).







Вредности котангенса угла се читају са котангенсне осе t.

















Вредности функција tga  и ctga  за углове код којих је други крак на једној од оса

Вредности tga  и ctga  могу да се читају са тангенсне и котантгенсне осе, а могу да се одреде помоћу вреднсости sina  и cosa  .

       












Вредности тригонометријских функција се понављају после пуног круга (угла од 360o).

Основни период за функције sina  и cosa  је 2p, а tga  и ctga  је p.



Свођење функција на први квадрант



Нека други крак угла a припада II квадранту. Тада се угао може дати у два облика



или





1o   Нека је угао у облику . Тада се може скицирати следећа слика.



Са слике се може закључити да важи









2o   Нека је угао у облику . Тада се може скицирати следећа слика.



Са слике се може закључити да важи









3o   Нека је угао у облику . Тада се може скицирати следећа слика.



Са слике се може закључити да важи









4o   Нека је угао у облику . Тада се може скицирати следећа слика.



Са слике се може закључити да важи









5o   Нека је угао у облику . Тада се може скицирати следећа слика.



Са слике се може закључити да важи









6o   Нека је угао у облику . Тада се може скицирати следећа слика.



Са слике се може закључити да важи









7o   Функције комплементарних углова ().











Закључак

Ако су углови дати у облику , тада sin остаје sin, cos остаје cos, tg остаје tg и ctg остаје ctg од одговарајућих углова.

Ако су углови дати у облику , тада sin прелази у cos, cos прелази у sin, tg прелази у ctg и ctg прелази у tg од одговарајућих углова.

У оба случаја потребно је само одредити знаке функција.



Функције негативних углова











Функција cosa  је парна, а функције sina,  tga  и ctga  су непарне функције.



ТАБЕЛА ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА ЗА НЕКЕ УГЛОВЕ





Пример 1.

Одредити вредности тригонометријских функција ako je a = -30o.

Решење









■


Пример 2.

Одредити





Решење







■
Copyright © Драгослав Бајовић, 2021.