Дефиниција

Изразима се одређује поступак за добијање неке вредности, на пример, израз може се употребити за рачунање површине круга, изразом се може одредити дужина хипотенузе троугла чије су катете a и b.

Алгебарски изрази се састоје из реалних константи и/или симбола променљивих међусобно повезаних операцијама сабирања, одузимања, множења (степеновања) и дељења, при чему се могу појавити и заграде. Код рационалних алгебарских израза се не сме појавити променљива под знаком корена.


Под рационалним алгебарским изразима подразумевамо

1o  Симболе реалних бројева ;
2o  Симболе променљивих ;
3o  Ако су А и В рационални алгебарски изрази, онда су и рационални алгебарски изрази и
4o  Сви изрази формирани коначном применом правила 1o, 2o и 3o су рационални алгебарски изрази.

Редослед извођења операција је
  I степеновање;
 II множење и дељење;
III сабирање и одузимање.

Операције истог приоритета се извршавају редом како су написане. Приоритет операција се мења употребом заграда.

Примери рационалних алгебарских израза су
       

Полиноми

Целобројни рационални алгебарски изрази или полиноми су рационални алгебарски изрази у којима се не појављује дељење изразом који садржи променљиву. Последња два напред наведена израза нису полиноми.

При трансформацији полинома користе се следећи идентитети

Дистрибутивни закони





Квадрат бинома




Куб бинома





Разлика квадрата



Разлика и збир кубова




Множење степена са истом основом



Дељење степена са истом основом



Степеновање степена





Растављање полинома на чиниоце

Растављање полинома на чиниоце (факторе) је поступак у коме се полином представи у облику производа полинома који се не могу даље упрошћавати.

При растављање полинома на чиниоце користе се различити поступци.


Извлачење заједничког чиниоца испред заграде

Овај поступак је заснован на дистрибутивном закону.






   






   
   
   
   



■


Груписање чланова


       Прва два члана имају заједничко  , трећи и четврти имају заједничко . Формирају се две групе које имају заједничко (x+y).




    У овом примеру је извучен минус испред заграде. Обратити пажњу на овај корак, јер се ту често праве грешке.
           


    У овом примеру су формиране три групе и код треће групе је извучен минус испред. Све три групе имају заједничко (2x-3). Чланови су груписани редом како су написани по два.


    У овом примеру се груписање не може урадити као у претходном задатку. Потребно је открити како треба груписати чланове. Чланови мењају знаке и може се узимати један са плусом испред и један са минусом. На пример, (први и четврти); (други и пети) и (трећи и шести).
    
    
    
    

    Ако је могуће растављање груписањем у неком примеру, онда се то груписање може извести на више начина. У претходном примеру се могу груписати (први, други и шести) и ( трећи, четврти и пети). Добија се заједнички трином.

■


Примена формуле за разлику квадрата


Формула за разлику квадрата



Раставити на чиниоце следеће изразе:





Решења







     



     

     

     

Графичка шема за разлику квадрата се може представити на следећи начин



Израз који се налази у квадрату са леве стране једнакости се преписује у квадрате са десне стране једнакости, а израз из елипси у елипсе.



Затим се среде изрази у заградама (пример под в).

■


Примена формула за разлику и збир кубова


Формула за разлику кубова



Формула за збир кубова



Раставити на чиниоце следеће изразе:





Решења







     

     



Примена квадрата и куба бинома


Формулe за квадрат бинома





Формулe за куб бинома







Раставити на чиниоце следеће изразе:







Решења







     

     

Допунити следеће изразе тако да они постану квадрат или куб бинома





Решења



     

     

други члан бинома је јединица






     

     

Недостаје троструки први на квадрат члан пута други члан бинома, тј.  

Тражени куб бинома је







■


Растављање квадратног тринома који није квадрат бинома


Квадратни трином је израз облика



При растављању квадратног тринома увек треба проверити да ли је у питању квадрат бинома. Ако није квадрат бинома, онда се могу применити разни поступци. У другом разреду се раде формуле помоћу којих се врши шаблонско растављање оваквих тринома.

У првом разреду се не раде формуле већ се трином трансформише у четворочлани израз са по две групе које имају заједнички чинилац. Линеарни члан се напише као збир или разлика два члана.

Примери растављања

1)  

Два члана тринома су са знаком минус а први члан је са знаком плус, а то значи да линеарни члан треба написати у облику разлике, тако да два члана буду са плусом испред и два са минусом. То се може урадити на бесконачно много начина.



или



Само једно разлагање даје решење. Број 4 може да се напише као 1х4,па следи



2)  

Прва два члана тринома су са знаком плус а трећи члан је са знаком минус, а то значи да линеарни члан треба написати у облику разлике, тако да два члана буду са плусом испред и два са минусом.



Број 12 може да се напише као 6х2,па следи



3)  

Сва три члана тринома су са знаком плус, а то значи да линеарни члан треба написати у облику збира, тако да сва четири члана буду са плусом испред.





4)  

     

Решења

У претходним примерима је коефицијенат уз квадратни члан била јединица. У примерима под в) и г) коефицијенти уз квадратне чланове су 2 и 5. Поступак је сличан као кад су ту јединице.





■


Растављање формирањем квадрата бинома

Kвадратни трином може да се растави тако что се од квадратног и линеарног члана формира квадрат бинома.





Први члан бинома је x, а други 3/2. Дода се и одузме квадрат броја 3/2.







Добила се разлика квадрата





Добио се збир квадрата, а он се не може раставити у скупу реалних бројева.

■

Не могу сви квадратни триноми да се растављају у скупу реалних бројева. На пример.






Први члан бинома је x, а други 2. Дода се и одузме квадрат броја два.







■


Разни примери - комбиновање метода


Раставити на чиниоце следеће изразе









Решења
   (прва три члана чине квадрат бинома)

   (примени се разлика квадрата)



   (последња три члана чине квадрат бинома)

   (извучен је минус испред последња три члана)









   (прва четири члана чине куб бинома)

   (добија се збир кубова)









   (формирају се групе)

   (добија се разлика квадрата и збир кубова)













   (изразу треба додати и одузети )

   (прва три члана чине квадрат бинома)

   (добија се разлика квадрата)





   (израз може да се посматра као разлика квадрата)





Дати израз може да се посматра и као разлика кубова

 



■

Полиноми једне променљиве


Ако полином садржи само једну променљиву, онда он може да се запише тако што се променљиве поређају по опадајућим степенима, тј. у облику

           

при чему је x променљива, а    су коефицијенти полинома и .

Ако је , онда је n степен полинома (пише се ).

За овакав запис се каже и да је канонски облик полинома.

Ако хоћемо да нагласимо по којој променљивој је полином и његов степен, онда то пишемо



Два полинома су једнака акко су им једнаки коефицијенти уз одговарајуће чланове (чланови са истим степеном).


Пример 1.



У овом полиному је степен



и коефицијенти су





■

Пример 2.

Одредити реалне бројеве a, b, c, d и e тако да полиноми буду идентички једнаки





Решење



■

Дељење полинома полиномом



Дељење полином је слично дељењу целих бројева. На пример,




Ово се може записати у облику



или



Дељење полинома полиномом се може записати слично дељењу целих бројева











 





Пример 3.

Поделити полином    са полиномом  .

Решење





Дељење целих бројева се изводи на исти начин



■

Пример 4.

Поделити полином    са полиномом  .



Остатак дељења је 0, а то значи да је полином    дељив полиномом  , тј. полином   је чинилац полинома  .

■


Пример 5.

Поделити полином    са полиномом  .



Остатак дељења је  , а то значи да је степен остатка мањи од степена делиоца тј.   па се дељење прекида. Количник је полином  .

 

■

 
Copyright © Драгослав Бајовић, 2020.