Квадратна једначина

Једначина облика је квадратна једначина. Ако су коефицијенти , онда је једначина потпуна, а ако је , онда је једначина непотпуна. Ако је , онда једначина није квадратна.


Непотпуна квадратна једначина


1o   ;

Једначина добија облик .
Ова једначина се може решити следећим поступком


Пример 1.


2o  

Једначина добија облик .


Једно решење је увек једнако нули.

Пример 2.



3o  

Једначина добија облик .



Пример 3.



Решење







■

Потпуна квадратна једначина


Потпуна квадратна једначина има облик



Формула за решавање квадратне једначине може да се добије следећим поступком

















Пример 4.







Свеједно је да ли ће се за x1 узети решење са минусом или решење са плусом



■

Пример 5.

















Решење x2=1 се одбацује због услова дефинисаности једначине



■

Природа решења квадратне једначине


1. Решења једначине су



2. Решења једначине су



3. Решења једначине су



Прва једначина је имала два реална различита решења, друга је имала два реална и једнака решења и трећа за решења има конјуговано комплексне бројеве. Какава ће решења бити зависи од израза под кореном у формули за решења.



Израз



се зове дискриминанта квадратне једначине.

У првој једначини је D>0, у другој је D=0 (трином је квадрат бинома) и у трећој је D<0.

1o  D > 0

Решења једначине су реална и различита, tj.


2o  D = 0

Решења једначине су реална и једнака, tj.


3o  D < 0

Решења једначине су конјуговано комплексни бројеви, tj.


Пример 1.

Одредити природу решења квадратне једначине у зависности од реалног прараметра m.


Решење

Коефицијенти једначине су , при чему мора да важи услов


Дискриминанта једначине је






Решења су реална и различита



      Решења су реална и једнака. Каже се и да је решење двоструко.




Решења су конјуговано комплексни бројеви.

■
Пример 2.

Одредити вредност реалног прараметра m тако да једначина
има двоструко решење.


Решење

Решења једначине су реална и једнака (двоструко решење) ако је дискриминанта једначине једнака нули.









■

Виетове формуле


Виетове формуле дају везу између коефицијената квадратне једначине и збира и производа њених решења.







Добијају се Виетове формуле






Пример 1.

Ако су x1 и x2 решења једначине , одредити вредности следећих израза:

     

Из Виетових формула је

     

     







     

Напомена: решења једначине су конјуговано комплексни бројеви и без Виетових формула је решавање вредности датих израза компликованије него што је решење са применом Виетових формула.
■

Квадратна једначина може да се трансформише на следећи начин







Добија се једначина



Овај облик квадратне једначине може да се користи за одређивање решења без примене формула, или за формирање једначине ако знамо њена решења.


Пример 2.

Саставити квадратну једначину чија су решења:



Примени се облик једначине . Са датим решењима се може формирати бесконачно много еквивалентних једначина.















■

Пример 3.

Ако су x1 и x2 решења једначине , одредити бар једну једначину чија су решења .

Тражена једначина може да се запише у облику



њена решења су



Одреди се збир и производ тих решења













Тражена једначина је



Једначина се може трансформисати у облик





Једначина може да се запише и са малим словом x



■

Растављање квадратног тринома



Квадратни трином је израз облика . Овај трином може да се трансформише на следећи начин.











Један од начина за расрављање квадратног тринома је и формула




Пример 4.

Скратити разломак     .

Раставе се бројилац и именилац разломка и ако имају заједничких чинилаца они се скрате уз одговарајуће услове.













■

Знак решења квадратне једначине



Када се испитује знак решења једначине, онда решења морају бити реална. За комплексне бројеве нема смисла испитивати знак. Знак решења квадратне једначине може да се одреди помоћу Виетових формула. Могуће су разне комбинације знака решења.

Увек је могуће одабрати решења тако да важи .

1o  Оба решења су позитивна, тј.   , тада важи систем неједначина




2o  Оба решења су негативна, тј.   , тада важи



3o  Решења су супротног знака, тј.   , тада важи



Збир решења може бити негативан



позитиван



једнак нули



4o  Решења су истог знака, тј.   , тада важи



Ово су неке од могућности (решења су супротни бројеви, једно решење је једнако нули, и сл)


Пример 5.

Одредити вредност реалног параметра m тако да оба решења једначине   буду негативна.

Треба решити следећи систем.



























■

Разни примери



Пример 6.

Одредити вредност реалног параметра m тако да решења једначине   задовољавају релацију .

Добија се систем



Ако се дата релација (трећа једначина у систему) може записати у функцији од збира и/или производа решења дате једначине, онда није потребно решавати систем. Довољно је у датој релацији заменити збир и производ решења са њиховим вредностима из дате једначине.



Трећа једначина је у функцији од збир и производа решења, па се могу искористити Виетове формуле (прва и друга једначина) и добија се једначина по параметру m.









■


Пример 7.

Одредити вредност реалног параметра m тако да решења једначине   задовољавају релацију .

Добија се систем











Трећа једначина је у функцији од збир и производа решења, па се добија једначина по параметру m.













■


Пример 8.

Одредити вредност реалног параметра m тако да решења једначине   задовољавају релацију .

Добија се систем



Трећа једначина не може да се представи у функцији збира и/или производа решења једначине. У оваквим задацима се мора решити систем про променљивим .

Прва и трећа једначина су линеарне па се прво реши систем од те две једначине.






Заменом у трећој добија се једначина по параметру m













■

Једначине које се своде на квадратне



Неке једначине степена већег од 2 се могу одговарајућом сменом свести на квадратну.


Биквадратна једначина



Биквадратна једначина је једначина облика



Једначина се може записати и у облику .

За решавање ове једначине уводи се смена



и једначина постаје квадратна по t



и једначина постаје квадратна по t





Пример 1.

Решити једначину .

Увођењем смене , једначина добија облик









Решења једначине су



■


Пример 2.

Решити једначину .

Уведе се смена







■


Пример 3.

Решити једначину .

Смена







Врати се смена







■

Биномне једначина



Биномна једначина је једначина облика



или



Ако је , онда се једначина може поделити са -1.

Једначина може да се преведе у облик





Сменом



једначина добија облик



Ова једначина се решава тако што се растави добијени бином.



Пример 4.

Решити једначину .



     

     

У поступку



губе се два комплексна решења.

Једначина непарног степена има бар једно реално решење.



     

■

Триномне једначина



Триномна једначина је једначина облика



Једначина се може записати и у облику .

За решавање ове једначине уводи се смена







Пример 4.

Решити једначину































. . .



Симетричне и кососиметричне једначине



Симетрична једначина је једначина облика



Кососиметрична једначина је једначина облика



Ове једначине се зову симетричне (кососиметричне) због симетрије коефицијената.
Ако је    решење једначине, онда је и     решење једначине, па се ове једначине зову и реципрочне једначине.

Симетричне једначине непарног степена имају једно решење , а кососиметричне непарног степена имају једно решење .



Пример 5.

Решити једначину



Једно решење једначине је . Дељењем леве стране једначине, тј. полинома једначине са (x + 1) добиће се једначина четвртог степена.



Дата једначина може да се запише у облику



Добија се симетрична једначина парног степена



која се решава следећим поступком



















Врати се смена

















■



Пример 6.

Решити једначину



Једно решење једначине је .



После дељења добија се симетрична једначина парног степена која се решава следећим поступком























■

Ако је кососиметрична једначина непараног степена онда се после дељења полинома једначине са (x - 1) добија симетричне једначина парног степена.

Кососиметричне једначине парног степена морају имати паран број чланова. Ако имају непаран број чланова, онда се не сматрају кососиметричним.

Кососиметричне парног степена и са парним бројем чланова се решавају факторизацијом, тј. растављањем полинома једначине на чиниоце.




Пример 7.

Решити једначину



Дата једначина је кососиметрична парног степена и решава следећим поступком













■
Copyright © Драгослав Бајовић, 2020.