Једначина параболе



Парабола је скуп тачака у равни са особином да је растојања сваке тачке тог скупа од једне стална тачке једнако растојању од једне сталне праве. Та стална тачка је жижа или фокус параболе, а стална права је директриса параболе.



Нека је растојање жиже F од директрисе d једнако p, и x оса садржи жижу и нормална је на директрису, а y оса је на половини растојања између жиже директрисе онда је једначина параболе











Добијена једначина је канонска једначина параболе





Пример 1.

Одредити једначину параболе и параметар p ако парабола садржи тачку А(2,-4).











■


Пример 2.

Дата је парабола   . Кроз њену жижу конструисана је права под углом од 135o према позитивном делу x осе. Написати једначину праве и одредити дужину одговарајуће тетиве параболе.











Решавањем система добија се





■


Пример 3.

Написати једначину круга чији је центар жижа параболе   и додирује директрису параболе.









■

Права и парабола



Нека је парабола дата једначином



а права



Решавањем система те две једначине добијају се везе измећу праве и параболе

- права сече параболу;

- права нема заједничких тачака са параболом и

- права додирује параболу.

Услов додира праве и параболе се може записати у облику

          

Ако тачка   припада параболи онда је једначина тангенте кроз ту тачку

          



Пример 1.

Одредити једначинe тангенти параболе   које пролазе кроз тачку  .

















■


Пример 2.

Одредити једначинe тангенте параболе   које пролазе кроз тачку са апсцисом  .





Додирне тачке су











■


Пример 3.

Одредити једначину тетиве параболе   којa je преполовљена тачкoм  .



Тачка припада сечици па је њена једначина



Коефицијенат правца праве кроз тачке М и N је



и он се може одредити следећим поступком

Тачка А је средиште дужи MN



Тачке М и N припадају параболи





Одузимањем прве од друге једнакости добија се











Једначина сечице је



■


Пример 4.

Из тачке   конструисане су тангенте на параболу  . Одредити

а) једначине тих тангенти;

б) угао између тангенти и

в) површину троугла чија су темена тачка А и додирне тачке тангенти и параболе.



а)

















б)

     

в)

     

■