Једначина елипсе



Елипса је скуп тачака у равни са особином да је збир растојања сваке тачке тог скупа од две стална тачке константан. Те сталне тачке су жиже или фокуси елипсе. Ако је растојање између жижа 2c, а збир растојања тачке M(x, y) од фокуса једнак 2а, онда је једначина елипсе

          

при чему је

          

Ово је канонски облик централне једначине елипсе. Једначина се може записати и на следећи начин

          

          

          

Елипса је уписана у правоугаоник чије су дужине страница 2а и 2b. Тачке у којима елипса сече осе су темена елипсе.

          

          

          

          

          

          

          

Елипса може да се нацрта тако што се узме конац дужине 2а, карајеви конца се фиксирају на растојању 2c, оловком се затегне канап и црта линија. Координатни систем се постави тако да x оса пролази кроз фиксиране тачке F1 и F1, а y оса је симетрала дужи F1F2

          



■


Пример 1.

Одредити једначину елипсе ако се два њена темена налазе у тачкама А(-9,0) и В(9,0), а једна жижа има координате F1(-6,0).

На основу координате тачака А и В следи да су А и В темена елипсе на х оси, тј,



Једначина елипсе је





■


Пример 2.

Одредити једначину елипсе која садржи тачку А(3,-2), а велика оса је једнака 10.













■


Пример 3.

Одредити једначину елипсе која садржи тачкe M(6, 4) и N(-8, 3).



Нека је једначина елипсе дата у облику



Добија се систем једначина





Систем се може решити сменом















Тражена једначина елипсе је





■

Права и елипса



Нека је елипса дата једначином

          

а права

          

Решавањем система те две једначине добија се квадратна једначина чија је дискриминанта



Ако је D>0 једначина, тј. систем има два реална и различита решења, а то значи да права сече елипсу. Ако је D<0 једначина нема реалних решења, па права нема заједничких тачака са елипсом. Ако је D=0 тада једначина има двоструко решење, тј. једно решење и права додирује елипсу.

- права сече елипсу;

- права нема заједничких тачака са елипсом и

- права додирује елипсу.

Услов додира праве и елипсе се може записати у облику



Ако тачка   припада елипси онда је једначина тангенте кроз ту тачку

          



Пример 1.

Одредити једначине тангенти елипсе   које пролазе кроз тачку  .

Нека је једначина тангенте



тада





Заменом у услову додира праве и елипсе добија се



Сређивањем једначине добија се



Решења добијене једначине су





Једначине тангенти су





■


Пример 2.

Одредити једначину тангентe елипсе   која пролази кроз њену тачку А(2,2).

Тачка А припада елипси па се једначина тангенте одређује помоћу формуле



 .

Сређивањем претходне једначине добија се тангента



■


Пример 3.

Одредити једначину тангентe елипсе   која је нормална на праву  .

Дату једначину елипсе треба свести на канонски облик









Нека је једначина тангенте



Тангента је нормална на праву p, па се одреде коефицијенти праваца праве и тангенте





Заменом вредности у услову



добија се







После сређивања добијају се једначине тангенти





■