Једначина параболе



У наукама се користи неколико метода закључивања. Две основне методе су дедукција и индукција.

У дедукцији се полази од општих ставова и чињеница и изводе се појединачни ставови, а у индукцији се полази од појединачних ставова и изводе се општи ставови. Индукцијом се не долази увек до тачног става, али се у некој науци врше истраживања и долази се до појединачних чињеница и ставова на основу којих се изводе општи закључци. Касније се ти закључци морају доказати и дедукцијом.

Принцип математичке индукције (математичка индукција) је поступак који се примењује при доказивању тврђења која се односе на природне бројеве. Поступком математичке индукције се доказује да неко тврђење важи за сваки природан број, па је математичка индукција потпуна индукција и представља дедуктивну методу.

Нека је T(n) неко тврђење које се односи на скуп природних бројева, тј. зависи од природног броја n. Математичка индукција се спроводи у два корака.




______________



Или



У првом кораку се докаже да je   тачно, па пошто је тачна импликација  , онда важи  ,  , ... ,  , ...

Некада тврђење не важи за неколико почетних природних бројева и почиње да важи од неког броја no. Тада се у првом кораку доказује да је тачно  .



Пример 1.

Доказати да за све природне бројеве важи:









а)
Дато тврђење обележимо са



Први корак



У другом кораку доказујемо импликацију  . Прво наведемо како гласи тврђење за n=k и за n=k+1



     

Доказ импликације  

     

     

     

     
      _____________

     

б)






   

Доказ импликације  

     

     

среди се десна страна једнакости

     

     
      _____________

     

в)






   

Доказ импликације  

     

     

     

     

     
      _____________

     

г)






   

Доказ импликације  

     

     

     

     

     
      _____________

     

■


Појам низа


Скуп је основни математички појам и не дефинише се. Скуп се може описати (не и дефинисати) као целина различитих елемената који имају неку особину. То се записује
      
и чита се А је скуп х-ова таквих да важи особина  .

За скупове није битан редослед елемената, није ни битно да ли се неки елементи понављају или не.

{1, 2, 5} = {1, 1, 2, 5, 5, 5} = {5, 2, 1}.

Низ је уређени скуп. Сваком елементу се додели редни број, тј. зна се место сваком елементу у низу. Кеже се и да је низ уређена n-торка и записује се (1, 2, 5). Број 1 је први, 2 је други и 5 је трећи елеменат низа. Низ (1, 2, 5) је различит од низа (5, 2, 1).

Низ се дефинише као функција која скуп природних бројева пресликава у неки подскуп скупа реалних бројева

        , 

Скуп S се састоји од елемената низа

       

Елементе низа обично записујемо

       

или

       

Низ може имати бесконачно много елемената а може их имати и коначно много. Ако низ има коначно много елемената, онда се може записати на следећи начин

       



Пример 2.

Одредити првих пет чланова низа чији је општи члан   .

       

       

       

       

       

■


Аритметички низ


Низ бројева са особином да је разлика било која два узастопна члана константна зове се аритметички низ или аритметичка прогресија.

       

       

       

       

        ,  

Сваки члан аритметичког низа је аритметичка средина својих суседа

       

Важи и

       

       

Збир првих n чланова аритметичког низа     рачуна се по формули

       

или

       



Пример 3.

Одредити петнаести члан низа 2, 9, 16, 23, ...

Провера да ли је низ аритметички

       

разлика низа је

       

први члан низа је

       

       

■


Пример 4.

Одредити аритметички низ ако је

       

Аритметички низ је одређен првим чланом и разликом. Задатак се своди на решавање система

       

       

       

Разлика низа је негативна па је низ опадајући. Првих неколико чланова низа је

       

■


Пример 5.

Одредити аритметички низ ако је збир прва три члана 24, а збир њихових квадрата 224.

       

Низ се може одредити решавањем система

       

Ако су у релацији три узастопна члана низа, онда се задатак може решити и на следећи начин

       

       

       

       

       

Добијају се два низа

       

■


Пример 6.

Одредити збир првих 100 чланова аритметичког низа ако је a1=5 и d=3.

       

Збир првих 100 чланова је

       

■


Пример 7.

Одредити n-ти члан аритметичког низа ако је a1=8, d=4 и Sn=480.

       

Збир првих n чланова је

       

       

       

Решења једначине морају бити природни бројеви

       

       

■


Геометријски низ


Низ бројева са особином да је количник сваког члана и његовог претходника константан зове се геометријски низ или геометријска прогресија.

       

       

       

       

       

За чланове геометријског низа важи

         

Ако су чланови геометријског низа позитивни онда је сваки члан, почевши од другог, геометријска средина својих суседа

       

Збир првих n чланова геометријског низа     рачуна се по формули

       

или

       



Пример 1.

Одредити десети члан и збир првих десет чланова низа   .

Провера да ли је низ геометријски

       

разлика низа је

       

први члан низа је

       

       

       

■


Пример 2.

Одредити геометријски низ ако је   и   .

Геометријски низ је одређен првим чланом и количником. Задатак се своди на решавање система

       

       

       

Систем се решава тако што се поделе леве и десне стране једначина и добија се нова једначина у систему, а друга једначина је једна од претходних

       

       

       

Добијају се два низа

       

Први низ је растући, а други није ни растући ни опадајући.

■


Пример 3.

Одредити први члан геометријског низа ако је збир његових првих дванаест чланова 20475, а количник је 2.

       

       

Заменом у образцу за збир добија се

       

       

■


Пример 4.

Одредити     ако је   ,   и   .

Први члан и количник се добијају решавањем система

       

       

       

       

  се одређује преко збира

       

       

       

       

■


Пример 5.

Одредити растући геометријски низ ако је збир првог и четвртог члана 56, а производ другог и трећег члана 108. Који је члан тог низа једнак 1458.

       

       

       

       

       

Први низ је растући јер је количник већи од 1, а други низ је опадајући јер је количник мањи од 1.
Тражени низ је

       

Члан чија је вредност 1458 се добија решавањем једначине

       

       

       

■