Једначина хиперболе



Хипербола је скуп тачака у равни са особином да је разлика растојања сваке тачке тог скупа од две стална тачке константан. Те сталне тачке су жиже или фокуси хиперболе. Ако је растојање између жижа 2c, а разлика растојања тачке M(x, y) од фокуса једнак 2а, онда је једначина хиперболе

          

при чему је

          

Ово је канонски облик централне једначине хиперболе. Једначина се може записати и на следећи начин

          

          

Тачке у којима хипербола сече x осу су темена.

          

          

          

          

          

          

          

Асимптоте хиперболе су праве одређене дијагоналама правоугаоника чије су странице 2а и 2b.


■


Пример 1.

Одредити једначину хиперболе чији је нумерички ексцентрицитет   и садржи тачку А(-10,4).

Нека је једначина хиперболе



нумерички ексцентрицитет је



хипербола садржи тачку А



добија се систем









Једначина хиперболе је





■


Пример 2.

Одредити једначину хиперболе која садржи тачке  . Одредити координате фокуса и једначине асимптота хиперболе.

Нека је једначина хиперболе



Тачке А и В припадају хиперболи па се добија систем









Једначина хиперболе је

          



Жиже елипсе су

          

Једначине асимптота су



■


Пример 3.

Одредити једначину хиперболе ако је растојање између жижа  . Решење





Добија се систем



чија су решења



Једначина хиперболе је



■

Права и хипербола



Нека је хипербола дата једначином



а права



Решавањем система те две једначине добијају се везе измећу праве и хиперболе

- права сече хиперболу;

- права нема заједничких тачака са хиперболом и

- права додирује хиперболу.

Услов додира праве и хиперболе се може записати у облику

          

Ако тачка   припада хиперболи онда је једначина тангенте кроз ту тачку

          



Пример 1.

Одредити једначинe тангенти хиперболе   које пролазе кроз тачку А(0,-10).

Једначина хиперболе се преведе у канонски облик





Нека је једначина тангенте



заменом координата тачке А добија се



Заменом у услову додира праве и хиперболе добија се





Једначине тангенти су





■


Пример 2.

Одредити угао под којим се секу криве   и   .

Прва крива је елипса а друга хипербола.

Угао под којим се секу две криве је угао између тангенти тих кривих у тачки пресека.



Нека су једначине тангенти





За одрећивање угла треба одредити коефицијенте праваца тангенти и искористити образац



Потребно је одредити тачке пресека елипсе и хиперболе



Добијају се четири тачке.



Због симетрије довољно је одредити коефицијенте праваца у тачки М.

Једначине тангенти су







Тангенс угла између тангенти није дефинисан па је угао између кривих прав.

Ако тачка припада елипси или хиперболи и једначине су дате у облицима   онда се тангенте могу одредити на следећи начин





■