Рачунање запремина обртних тела применом одређеног интеграла
Тело добијено ротацијом лука криве y=f(x) око x осе на интервалу [a,b] је обртно тело.
Запремина овако добијеног обртног тела се може израчунати помоћу одређеног интеграла.
Интервал [
a,b] може се поделити на
n делова на следећи начин
добиће се
n сегмената. Основе сегмената су кругови, а осни пресеци су криволинијски трапези.
Ако посматрамо
i-ти сегмент, онда његову запремину можемо проценити уписаним и описаним ваљком.
Суме тих ваљака би биле доња и горња Дарбуова сума.
Уместо Дарбуових сума, може се из сваког интервала одабрати произвољна тачка
.
Полупречник основе одговарајућег ваљка је једнак вредности функције у одабраној тачки из инервала, а висина ваљка је једнака дужини интервала.
Запремина ваљка је једнака
.
Ако се саберу сви ваљци добиће се Риманова сума
.
Ако постоји гранична вредност
онда је она једнака одређеном интегралу
Запремина обртног тела се рачуна помоћу формуле
У задацима је практичније користити формулу
Када се реши одређени интеграл, онда се добијени резултат помножи са бројем пи.
■
Пример 1.
Применом одређеног интеграла извести образац за запремину праве кружне купе чији је полупречник основе
R и висина
H.
Купа се може поставити у координатни систем тако да јој врх буде у координатном почетку а оса се поклапа са
x осом.
Једначина изводнице је
па је
Пример 2.
Извести образац за запремину лопте полупречника основе
R.
или
Пример 3.
Извести образац за запремину праве зарубљене купа полупречника основа
R и
r и висине
H.
Купа се може поставити као на слици. Једначина изводнице купе је
па је
Пример 4.
■
Пример 5.
Одредити запремину тела насталог ротацијом око х осе површи ограничене линијама
Довољно је било одредити само вредност за х. Зашто?
Запремина добијеног тела се може израчунати на следећи начин
■
ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ
Пример 6.
Извести образац за запремину
1. Eлипсоида (добија се ротацијим елипсе око једна своје осе).
2. Параболоида који се добија ротацијом површи ограничене параболом и правом са слике.
Пример 7.
Права додирује параболу
y2 = 12x у тачки
.
Израчунати запремину тела које настаје ротацијом око х осе фигуре ограничене овом правом,параболом и х осом.
Пример 8.
Одредити запремину тела насталог ротацијом око х осе површи ограничене линијама
а)
б)
в)
Пример 9.
Дата је крива
која припада кривој. Одредити
а) једначину тангенте у тачки М;
б) запремину тела које настаје ротацијом око х осе фигуре ограничене том тангентом, датом кривом и х осом.
