Тангента и нормала графика функције
Нека је функција
f: D → V (D,V
R)
дефинисана и има извод у тачки
.
Једначина тангенте графика функције
у тачки
je
Једначина нормале графика у тачки
je
Одредити једначине тангенти графика функција:
Решења
График сече х осу у тачкама
и
■
Тангента пролази кроз тачку
■
Конвексност, конкавност и превојне тачке функција
Нека функција
f: (a,b) → V ((a,b),V
R)
има други извод у свакој тачки интервала (a,b).
График функције
y=f(x) је конвексан на (a,b) акко је
f"(x)>0.
График функције
y=f(x) је конкаван на (a,b) акко је
f"(x)<0.
У нулама другог извода су могуће превојне тачке графика функције.
Нека функција
f: (a,b) → V ((a,b),V
R)
има други извод у околини тачке
xo из интервала (a,b), осим, можда, у тачки
xo.
Ако
f"(x) мења знак при пролазу аргумента кроз тачку
xo, онда је P(
xo, f(
xo))
превојна тачка графика функције.
Испитати конвексност и конкавност и одредити превојне тачке графика функција
■
■
Испитивање рационалних функција
При испитивању особина функција, прва особина која се одређује је увек домен функције. Редослед осталих није битан,
али се парност/непарност и периодичност (тригонометријске ф-је) одређују на почетку.
Парне или непарне функције имају симетричне графике, па је довољно испитати особине функција на интервалу
. Периодичне функције је довољно испитати на основном периоду функције.
Може се применити следећи редослед испитивања особина функције
1
o Област дефинисаности (домен) функције;
2
o Парност/непарност функције;
3
o Периодичност (тригонометријске функције);
4
o Нуле функције, знак и пресек са
осом;
5
o Монотоност и локалне екстремне вредности функције;
6
o Конкавност/конвексност и превојне тачке графика функције;
7
o Асимптоте графика функције (понашање функције на крајевима интервала дефинисаности);
8
o График функције и
9
o Скуп вредности функције.
Пример 1.
Скицирати графике и навести особине функција
Решења
Особине функције
1
o Област дефинисаности (домен) функције
2
o Парност/непарност функције
3
o Нуле функције, знак и пресек са
осом
4
o Монотоност и локалне екстремне вредности функције
5
o Конвексност/конкавност и превојне тачке графика функције
Превојна тачка графика је
6
o Асимптоте графика функције
Функција нема хоризонталних ни вертикалних асимптота
Функција нема ни косих асимптота
7
o График функције
8
o Скуп вредности функције
■
Особине функције
1
o Област дефинисаности (домен) функције
2
o Парност/непарност функције
Функција је непарна. График је симетричан у односу на координатни почетак
3
o Нуле функције, знак и пресек са
осом
4
o Монотоност и локалне екстремне вредности функције
Функција нема локалних екстремних вредности
5
o Конвексност/конкавност и превојне тачке графика функције
Превојна тачка графика је Р(0,0)
6
o Асимптоте графика функције
7
o График функције
8
o Скуп вредности функције
■
Особине функције
1
o Област дефинисаности (домен) функције
2
o Парност/непарност функције
Функција је непарна. График је симетричан у односу на координатни почетак
3
o Нуле функције, знак и пресек са
осом
4
o Монотоност и локалне екстремне вредности функције
5
o Конвексност/конкавност и превојне тачке графика функције
Превојна тачка графика је Р(0,0)
6
o Асимптоте графика функције
7
o График функције
8
o Скуп вредности функције
■
Особине функције
1
o Област дефинисаности (домен) функције
2
o Парност/непарност функције
Функција није ни парна ни непарна.
3
o Нуле функције, знак и пресек са
осом
4
o Монотоност и локалне екстремне вредности функције
5
o Конвексност/конкавност и превојне тачке графика функције
Превојне тачке графика су
6
o Асимптоте графика функције
7
o График функције
8
o Скуп вредности функције
■
Пример 2.
Испитати функцију
и навести њене особине.
Решење
1
o Област дефинисаности функције
2
o Парност/непарност функције
Функција није ни парна ни непарна
3
o Нуле функције, знак и пресек са
осом
4
o Монотоност и локалне екстремне вредности функције
5
o Конвексност/конкавност и превојне тачке графика функције
Други извод нема нула и график нема превојних тачака
6
o Асимптоте графика функције
7
o График функције
8
o Скуп вредности функције
■
